Teorema de De Moivre

Teorema de De Moivre

Las potencias enteras de un número complejo no nulo z = reiθ vienen dadas por z = rneinθ (n = 0, +1, -1, +2, -2 ...) Como zn+1 = zzn cuando n=1,2,..., esto se comprueba fácilmente para valores positivos de n por inducción, para el producto de números complejos en forma exponencial. La ecuación es válida también para n = 0 con el convenio de que z0 = 1. Si n = -1, -2..., por otro lado, definimos zn en términos del inverso multiplicativo de z escribiendo zn = (z-1)m, donde m = -n = 1, 2, ... Entonces, como la ecuación z = rneinθ es válida para potencias enteras positivas, se sigue de la forma exponencial de z-1 que zn = [1/r ei(-θ)]m = (1/r)m eim(-θ) = rneinθ Por tanto, la ecuación z = rneinθ es válida para toda potencia entera. Nótese que si r = 1, z = rneinθ se convierte en (eiθ)n = eiθn           (n = 0, ±1, ±2 ...) Cuando se expresa en la forma

(cos θ + i sen θ)ⁿ = cos nθ + i sen nθ

que se le conoce como la fórmula de De Moivre